統計の公式

平均,中央値,分散

• 標本平均

  • $\bar{x}=\frac{x_1+\dots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\quad\quad$

• 中央値

  • $\tilde{x}=\begin{cases} x_{m} \quad (n=2m-1)\ \dfrac{x_{m}+x_{m+1}}{2}\quad (n=2m) \ \end{cases} $

• 標本分散

  • $s^2_x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$

• 標本標準偏差

  • $s_x=\sqrt{s^2_x}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

変数変換

• 1変数の変数変換(単調写像の場合）

  • 確率変数Xの確率密度関数を$f_X(x)$とし、$Y=g(X)$とする。
  • $g(x)$が単調関数で$g^{-1}(y)$が微分可能であるとき、$Y$の確率密度関数は下記で与えられる。
    • $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y)\dfrac{d}{dy}|g^{-1}(y)|$

• 2変数の変数変換

  • 連続型の２つの確率変数X,Yの確率密度： $f_{XY}(x,y)$
  • $x=x(u,v), y=y(u,v)$によってX,Yを新たな確率変数U,Vに変換する
  • U,Vの確率密度$f_{UV}(u,v)$は以下式で与えられる。
    • $f_{UV}(u,v) = f_{XY}(x(u,v),y(u,v))|J|$
    • 但し、$J=\dfrac{\partial x}{\partial u}・\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial v}・\dfrac{\partial y}{\partial u}$

確率分布

• 離散一様分布

  • 確率質量関数: $P(X=K)=\frac{1}{K}$
  • 期待値: $E(X)=\dfrac{K+1}{2}$
  • 分散: $V(X)=\dfrac{K^2-1}{12}$

• ベルヌーイ分布

  • 確率質量関数: $P(X=x)=p^xq^{1-x}, x=0,1$
  • 期待値: $E(X)=p$
  • 分散: $V(X)=pq$

• 二項分布

  • $P(X=x)={_nC_x}P^x(1-P)^{n-x}$
  • $E(X)=np$
  • $V(X)=npq$

• 超幾何分布

  • $P(X=x)=\dfrac{_MC_x*_aC_b}{_NC_n}, a=N-M,b=n-x$
  • $E(X)=n\frac{M}{N}$
  • $V(X)=n\dfrac{M}{N}(1-\dfrac{M}{N})*\dfrac{N-n}{N-1}$

• ポアソン分布

  • $P(X=x)= \dfrac{λ^x}{x!}e^{-λ}$
  • $E(X)=λ$
  • $V(X)=λ$

• 幾何分布

  • 定義1：成功確率pの試行でx回目で初めて成功する
    • $P(X=x)=(1-p)^{x-1}p$
    • $E(X)=\dfrac{1}{p}$
    • $V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}$
  • 定義2：成功確率pの試行で初めて成功するまでにx回失敗する
    • $P(X=x)=p(1-p)^x$
    • $E(X)=\dfrac{1-p}{p}$
    • $V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}$